 Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm với vận
tốc trung bình như nhau là 40km/h từ hai vị trí A
và B trên hai cong đường vuông góc với nhau
để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A
cách bến 8km, vị trí B cách bến 7km . Gọi x là
thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách
nhau 5km (Hình 31)
Bạn Dương xác định được x thoả mãn phương
trình :
2
2

(8 - 40 x) + (7 - 40 x) = 5

Làm thế nào để tìm được x ?

Hình 31

f ( x) = g ( x) ( I )

f ( x) = ax 2 + bx + c ; g ( x ) = mx 2 + nx + p ;(a ¹ m)
 Để giải phương trình (I) , ta làm như sau :
Bước 1 : Bình phương 2 vế của (1) dẫn đến phương trình
Rồi tìm nghiệm của phương trình này.

Bước 2 : Thay từng nghiệm của phương trình vào bất phương trình
(hoặc ). Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại ,
nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.
Bước 3 : Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận
nghiệm của phương trình (1).
 Chú ý : Trong 2 bất phương trình và , ta thường
chọn bất phương trình có dạng đơn giản để thực hiện.

f ( x) = g ( x)

1

Giải phương trình :

x 2 - 6 x - 4 = x - 4 (1)
Bình phương 2 vế của (1), ta được :
2

x - 6 x - 4 = x - 4 (2)
Û x2 - 7 x = 0
Phương trình (2) có 2 nghiệm là và
Thay lần lượt 2 giá trị trên vào bất phương trình , ta thấy
chỉ có là thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình (1) là

f ( x) = g ( x)

2

Giải phương trình :

2x 2 + 3 x +1 = x 2 + 4 x + 3 (3)
Bình phương 2 vế của (3), ta được :
2

2

2x + 3 x +1 = x + 4 x + 3 (4)
2
Û x - x- 2 =0

Phương trình (4) có 2 nghiệm là và
Thay lần lượt 2 giá trị trên vào bất phương trình
, ta thấy cả 2 giá trị đều thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình (3) là

f ( x) = g ( x)

1

Giải phương trình :

3 x 2 - 4 x +1 = x 2 + x - 1 (1)
Bình phương 2 vế của (1), ta được :
2

2

3 x - 4 x +1 = x + x - 1 (2)
2
Û 2 x - 5x + 2 = 0

Phương trình (2) có 2 nghiệm là và

Thay lần lượt 2 giá trị trên vào bất phương trình
, ta thấy chỉ có là thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình (1) là

f ( x) = g ( x) ( II )

f ( x) = ax 2 + bx + c ; g ( x) = dx + e ;(a ¹ d 2 )

 Để giải phương trình (II) , ta làm như sau :
Bước 1 : Giải bất phương trình để tìm tập nghiệm của bất phương
trình đó.
Bước 2 : Bình phương 2 vế của (II) dẫn đến phương trình rồi tìm tập
nghiệm của phương trình đó.
Bước 3 : Trong những nghiệm của phương trình , ta chỉ giữ lại
những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình . Tập nghiệm
giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II)

f ( x) = g ( x) ( II )

3

Giải phương trình :

Đầu tiên , giải bpt :

x 2 - 6 x + 6 = 2 x - 1 (5)

2 x - 1³ 0 (6)

1
Û x³
2

Bình phương 2 vế của (5), ta được : x 2 - 6 x + 6 = (2 x - 1 ) 2 (7)

Û 3x 2 + 2 x - 5 = 0
Trong 2 giá trị trên chỉ có là thoả mãn
Vậy phương trình (5) có nghiệm là

éx = 1
ê
Û ê
5
êx =ê
3
ë

f ( x) = g ( x)

2

Giải phương trình :

3x - 5 = x - 1 (1)

Đầu tiên, giải bpt :

x - 1 ³ 0 (2)
Û x³ 1

Bình phương 2 vế của (1), ta được
2

3 x - 5 = ( x - 1) (3)
éx = 2
2
Û x - 5x + 6 = 0 Û ê
ê
ëx = 3

Cả 2 giá trị đều thoả mãn
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

f ( x) = g ( x) ( II )

4

Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy giải thích vì sao thời
gian x (giờ) để hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau
5km thoả mãn phương trình (8 - 40 x) 2 + (7 - 40 x) 2 = 5
Sau đó , hãy giải phương trình trên.
A

Quảng đường xe xuất phát từ A, B đi được sau x
giờ là (km)
Sau x giờ, xe xuất phát từ A đến C cách O một
khoảng
Sau x giờ, xe xuất phát từ B đến D cách O một
khoảng

C
5 km
8 - 40x
O

D
7 - 40x

B

Hình 32

Để và thì
Tam giác OCD vuông cân nên CD = OC 2 + OD 2 = (8 - 40 x ) 2 + (7 - 40 x) 22

f ( x) = g ( x) ( II )

4
Ta có :

Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy giải thích vì sao thời
gian x (giờ) để hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau
5km thoả mãn phương trình (8 - 40 x) 2 + (7 - 40 x) 2 = 5
Sau đó , hãy giải phương trình trên.
(8 - 40 x) 2 + (7 - 40 x) 2 = 5

2
2
(8
40
x
)
+
(7
40
)
= 25
x
Bình phương 2 vế :
Û 3200 x 2 - 1200 x + 88 = 0

Û 400 x 2 - 150 x +11 = 0
Phương trình có 2 nghiệm : hoặc
Đối chiếu với điều kiện ta chọn
Vậy thời gian để 2 xe cách nhau 5km là 0,1 giờ.

A
C
5 km
8 - 40x
O

D
7 - 40x
Hình 32

B

 Thầy (cô) xem đầy đủ các bài giảng của Bộ sách Toán
10 – KNTT tại đây :
https://
sites.google.com/view/giaoandientu-doanhtuan/trang-ch
%E1%BB%A7
 Để có đầy đủ giáo PP của bộ sách Toán 10 – KNTT, xin
liên hệ : Zalo : 0918.790.615 – Đỗ Anh Tuấn

Giải các phương trình sau:

1
a)

a)

2 x 2 - 3x - 1 = 2 x + 3

b) 4 x 2 - 6 x - 6 = x 2 - 6

2

2 x - 3x - 1 = 2 x + 3 (1)

Bình phương 2 vế của (1), ta được :

2 x 2 - 3 x - 1 = 2 x + 3é
2

Û 2 x - 5x - 4 = 0

êx = 5 + 57
ê
4
Û ê
ê 5 - 57
êx =
ê
4
ë

Thử lại ta thấy cả 2 giá trị trên đều thỏa mãn
5 + 57
5 - 57
;x=
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là : x =
4
4

1

Giải các phương trình sau:

a)

2 x 2 - 3x - 1 = 2 x + 3

b) 4 x 2 - 6 x - 6 = x 2 - 6

b) 4 x 2 - 6 x - 6 = x 2 - 6 (2)
Bình phương 2 vế của (2), ta được :
2

2

4 x - 6 x - 6 = x - 6 (4)
éx = 0
2
Û 3x - 6 x = 0 Û ê
ê
ëx = 2
Thử lại ta thấy cả 2 giá trị trên đều không thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

1
c)

Giải các phương trình sau:

c)

x +9 = 2x - 3

x + 9 = 2 x - 3 3)
Đầu tiên, giải bpt : 2 x - 3 ³ 0

b) - x 2 + 4 x - 2 = 2 - x

3
Û x³
2

Bình phương 2 vế của (3), ta được

x + 9 = (2 x - 3)

2

4 x 2 - 13 x = 0
Trong 2 giá trị trên chí có thoả mãn

éx = 0
ê
Û ê 13
êx =
ê
4
ë

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Giải các phương trình sau:

1

c)

x +9 = 2x - 3

d ) - x2 + 4x - 2 = 2 - x

2

d ) - x + 4 x - 2 = 2 - x (4)
Đầu tiên, giải bpt : 2 - x ³ 0

Û x£ 2

Bình phương 2 vế của (4), ta được

- x 2 + 4 x - 2 = (2 - x) 2

éx = 3
Û x - 4x +3 = 0 Û ê
ê
ëx = 1
2

Trong 2 giá trị trên chỉ có thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2
a)

Giải các phương trình sau:

a)

2 - x + 2x = 3

2 - x + 2x = 3

b) - x 2 + 7 x - 6 + x = 4

Û

2 - x = 3 - 2 x (1)
3
Đầu tiên, giải bpt : 3 - 2 x ³ 0 Û x £
2
2
Bình phương 2 vế của (1), ta được : 2 - x = (3 - 2 x)
éx = 1
ê
Û 4 x - 11x + 7 = 0 Û ê
7
êx =
ê
ë 4
2

Trong 2 giá trị trên chỉ có thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Giải các phương trình sau:

2

a)

2

2 - x + 2x = 3

b) - x + 7 x - 6 + x = 4

Û

b) - x 2 + 7 x - 6 + x = 4

- x 2 + 7 x - 6 = 4 - x (2)

Đầu tiên, giải bpt : 4 - x ³ 0

Û x£ 4
2

2

Bình phương 2 vế của (2), ta được : - x + 7 x - 6 = (4 - x)
éx = 2
ê
2
ê 11
Û 2 x - 15 x + 22 = 0 Û ê
x=
ê
2
ë

Trong 2 giá trị trên chỉ có thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có
chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc
thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên
bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang
vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo
với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét

3

Gọi chiều cao của bức tường là x ().
Chiều cao chiếc thang :
Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x,
AB = x + 1 . Áp dụng Pitagore ta có :
2

2

BC = AB - AC = ( x +1) 2 - x 2 = 2 x +1
Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức
tường không thay đổi nên DG = x (m).

a)

Hình 33

b)

3

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có
chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc
thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên
bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang
vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo
với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào
gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.
Þ GE = 2 x +1 - 0,5

DG
x
·
=
Ta có : tan DEG =
DE
2 x +1 - 0,5
Þ x = 3( 2 x +1 - 0,5)

Û

3
3(2 x +1) = x +
(1)
2

a)

Hình 33

b)

3

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có
chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc
thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên
bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang
vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo
với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét

3 2
Bình phương hai vế của (1) ta được : 3(2 x +1) = ( x + )
2

9
Û x + ( 3 - 6) x - = 0
4
2

é
êx = 6 ê
Û ê
ê
ê 6êx =
ê
ë

Trong 2 giá trị trên chỉ có là thoả mãn
Vậy bức tường cao 4,7m

3 + 48 - 12 3
» 4, 7
2
3-

48 - 12 3
» - 0,5
2

4

Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền
đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m
như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10
km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng
cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền
và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.
Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).
Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km;
DB = BC – CD = 0,8 – x (km).
Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng Pythagore:
AD2 = AC2 + CD2 = (0,3)2 + x2 = 0,09 + x2

Þ AD = 0, 09 + x 2

Khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là : 0, 09 + x 2 ( km)

4

Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền
đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m
như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10
km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng
cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền
và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước
không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị
trí A đến vị trí D là
0, 09 + x 2

t1 =

6

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận
tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ
vị trí D đến vị trí B là
0,8 - x

t2 =

10

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là t1 + t2 = t = 0,12 (giờ).

4

Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền
đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m
như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10
km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng
cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền
và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

0, 09 + x 2 0,8 - x
Ta có : phương trình :
+
= 0,12
6
10
Û 5 0, 09 + x 2 = 1, 2 + 3 x (1)
2
2
25(0,
09
+
x
)
=
(1,
2
+
3
x
)
Bình phương hai vế của (1) :

Û 16 x 2 - 7, 2 x + 0,81 = 0
Giải phương trình ta được thoả mãn điều kiện
Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m.